10 sınıf binom açılımı konu anlatımı pdf

Ders Sarayının sizler için hazırlamış olduğu Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Kapsamlı Konu Anlatımı yazımıza hoş geldiniz. Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı yazımızda, Pascal Üçgeni, Ömer Hayyam, binom açılımı ve binom açılımının özellikleri konularını kapsamlı bir şekilde ele aldık.

Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Kapsamlı Konu Anlatımı yazısını daha iyi anlayabilmeniz için önceki konu anlatımlarından, TYT Matematik Kombinasyon Detaylı Konu Anlatımı ,  Temel Kavramlar , Üslü sayılar ve Permütasyon Detaylı Konu Anlatımı yazılarımızı okumanızı tavsiye ederiz. Sitemizdeki diğer matematik konu anlatımı yazılarına buradan ulaşabilirsiniz. Haydi başlayalım.

Pascal Üçgeni

Pascal özdeşliği veya üçgensel bir sayı dizisidir. Bu üçgen, Fransız matematikçi Blaise Pascal’ın soyadıyla anılsa da Pascal’dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya’da bazı matematikçiler ve müslüman bilim adamlarından Ömer Hayyam tarafından da bulunmuştur. Pascal üçgeni incelendiğinde, üçgendeki bir sayının kendi üstündeki iki sayının
toplamı olduğu görülür.

Blaise Pascal (Bleyz Paskal)

Fransa’da doğan Blaise Pascal (Bleyz Paskal) (1623-1662), matematiğe ve geometriye olan büyük ilgisi nedeniyle daha 12 yaşındayken geometri üzerinde çalışmaya başladı. Babası vergi toplayıcısı olarak atandığında vergileri toplamasına yardımcı olmak amacıyla 1642-1645 yılları arasında üç yıl çalışarak ilk sayısal hesap makinesi olan ve “Pascalin” adı verilen cihazı icat etti.

Daha sonra fizik ve matematik üzerine çalışmaya başladı. 1653’te sıvıların dengeleri üzerine hazırladığı tez ile Pascal, basınç ile ilgili kanununu ortaya koydu. Bu tez, bilim insanlarınca bilim tarihinde hidrostatik sistemin tam bir taslağı ve Pascal’ın fizik teorisine yaptığı en önemli katkı olarak kabul edildi. Pascal ayrıca geometride koniklerle ilgili birçok teorem geliştirdi. Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir.

Ömer Hayyam

Ömer Hayyam , 1048’de Nişabur’da doğmuştur. On birinci yüzyılda yaşamış ünlü matematikçilerden biri de Ömer Hayyam‘dır. Asıl adı Gıyasettin Ebulfeth Bin İbrahim El Hayyam’dır. Ömer Hayyam’ın matematiğe başlaması tesadüfen olmuştur.

Babası çadırcı olduğundan, oğlunun baba mesleğini devam ettirmesi için biraz geometri öğrenmesi gerektiğine karar vermiştir. Oğluna hocalar tutmuştur. Fakat hocalar oğlunun çadırcılıkla yetinmeyeceğini anlamışlar ve babasından rica edip, eğitimini sürdürmesini sağlamışlar. Hayyam da hocalarının yüzünü kara çıkarmamıştır. Yaşadığı dönemde İbn-i Sina’dan sonra Doğu’nun yetiştirdiği en büyük bilgin olarak kabul edilmiştir.

Tıp, astronomi, fizik, cebir, geometri ve matematik alanlarında önemli çalışmaları olan Hayyam’ın birçok yapıtı bugüne ulaşamamıştır. Daha çok rubaileri ile tanıdığımız Hayyam, Celali Takvimi’ni de bulmuştur. Öğrenimini ve hayatının büyük bir kısmını Nişabur ve Semerkant’ta geçirmiştir.

Hayyam, matematik tarihinde üçüncü dereceden denklemleri incelemiş ve sınıflandırmıştır. Ömer Hayyam, bunun dışında cebirde n bir pozitif tam sayı olduğunda (a+ b )n ifadesinin açılımına ait terimlerin katsayılarını veren Pascal üçgenini, Pascal’dan önce bulan matematikçiler arasındadır.

Bu sebeple Pascal üçgeni yerine Hayyam üçgeni ismi de kullanılmaktadır. Pascal üçgeni üzerinde Ömer Hayyam’dan başka Hindistan, İran, Çin, İtalya ve İslam medeniyetlerindeki pek çok matematikçi ve düşünür de çalışmalar yapmıştır. Buradan da anlaşılacağı üzere matematiksel bilgi ve birikimin oluşması için birçok farklı kültürde yetişmiş bilim insanının katkısı olmuştur.

Yandaki şekilde görüldüğü gibi
• Pascal (Paskal) üçgeninin tepesinde 1 sayısı bulunmaktadır.
• Her satırdaki eleman sayısı bir önceki satırdaki
eleman sayısından 1 fazladır.
• Her satır 1 ile başlayıp 1 ile biter. Diğer sayılar ise
bir üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının
toplamıdır.
• Pascal üçgenindeki her satır verilen bu örüntüye
bağlı kalarak devam eder.

Pascal Üçgennden her bir satırdaki sayılar, (x±y)n ifadesinin açılımında bulunan terimlerin katsayılarını verir. Şimdi Pascal Üçgeninin satırlarını kombinasyon ile yazalım.

Pascal üçgeninin herhangi bir n. satırının r. sırasındaki sayı ile (r+1). sırasındaki sayı toplanırsa Pascal üçgeninin (n+1). satırının (r+1). sırasındaki sayı elde edilir. Başka bir ifadeyle Pascal üçgeninin herhangi bir satırındaki ardışık iki sayının toplamı, takip eden satırda bu iki sayının ortasındaki sayıya eşittir.

Yukarıdaki kurala göre aşağıdaki soruları yapalım.

Örnek 1

Örnek 2

Binom Açılımı

(a + b) , (a – 5) , (3x2 + 5y) gibi iki terimli ifadelere binom denir (Latincede bi: iki, nom: terim demektir). Binom açılımı iki terimli ifadelerin doğal sayı kuvvetine özdeş olan cebirsel ifadedir. (a + b)n ifadesinin açılımının katsayıları, satırları sıfırdan başlayarak numaralandırılmış Pascal üçgeninin n. satırındaki elemanları ile aynıdır.

(a + b)n ve (a – b)n ifadelerinin açılımlarında a ve b değişkenlerinden birinin kuvveti 1 artarken diğerinin kuvveti 1 azalır ve her bir terimde a ve b’nin kuvvetleri toplamı n değerine eşit olur.

Örnek 3
(a – b) , (a – b)2 ve (a – b)3 ifadelerinin binom açılımlarını ve açılımlardaki terimlerin katsayılarını bulalım.

Örnek 4
(a + b)4 ifadesinin açılımını bulalım.

Örnek 5
(a – b)5 ifadesinin açılımını Pascal üçgeninden faydalanarak bulalım.

Örnek 6
(x + y)9 ifadesinin açılımında x7y2 li terimin katsayısını bulalım.

Örnek 7
(3x – 1)12 ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulalım.

Binom Açılımının Özllikleri

Binom Açılımının Özellikleri yukarıdaki ifadeleri anlamayanlar için binom açılımının özellikleri aşağıdaki gibi özetleyebiliriz

x +y≠ 0 ve n ∈ N olmak üzere ( x+ y )n ifadesinin açılımında
• (n+1 ) tane terim vardır.
• Her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n dir.
• Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.
• Sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.
• n çift ise orta terim (1+n/2)dir.

Örnek 8
(a + b)7 ifadesinin a nın azalan kuvvetlerine göre açılımında;
a) Kaç terim vardır?
b) Baştan 3. terimi bulunuz.
c) Baştan 6. teriminin katsayısını bulunuz.

Örnek 9
(3x-4)5 açılımının
a) Kaç terimi olduğunu bulunuz.
b) Katsayılarının toplamını bulunuz.
c) Sabit terimini bulunuz.

Örnek 10
(x-3y)9 açılımındaki terimlerden birisi a ∈ R -{0} , olmak üzere a2n-1 y4+n olduğuna göre n değerini bulunuz.

Örnek 11
(2x2-3y3)9 ifadesinin açılımındaki x4.yn li terimdeki n değerini bulunuz.

Örnek 12
(3x-y)7 ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan 4. terimi bulunuz.

Örnek 13

Örnek 14

Örnek 15

Örnek 16

Örnek 17

Örnek 18

Örnek 19

Çözümleri mobil cihazınıza indirmek için karekodu okutunuz.

Yazımız burada sona erdi. 10. Sınıf Matematik dersi ile ilgili diğer tüm bazılara  buradan  ulaşabilirsiniz. Konuyla ilgili ek çalışma yapmak için burayı ziyaret edebilir, sitemizdeki diğer bütün derslerle ilgili içeriklere buradan ulaşabilirsiniz. Yorumlar kısmına TYT AYT Matematik Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Kapsamlı Konu Anlatımı ile ilgili fikir ve görüşlerinizi yazmayı unutmayın.

Sosyal medya hesaplarımızı ve mail adresimizi kullanarak bizi her platformda takip edebilir, bize görüşlerinizi, soru – sorun ve önerilerinizi iletebilirsiniz.

Bir sonraki yazımızda görüşmek üzere. İyi çalışmalar. 😎

Yasal Uyarı: Yayınlanan içeriğin ve diğer içeriklerin bütün fikri ve mülki hakları https://www.derssarayi.com/ ” a aittir. Kaynak gösterilse dahi içeriğin tamamı özel izin alınmadan kullanılamaz. Ancak alıntılanan yazının bir bölümü, alıntılanan yazıya aktif link verilerek kullanılabilir.